回旋曲线道路模型 (Clothoid road model)

回旋曲线 (Clothoid) 道路模型被广泛用于道路工程的缓和曲线（Transition Curve）和自动驾驶的视觉感知车道线输出，其特点是曲率 $\kappa$ 随曲线长度 $s$ 线性变化。

Agreement

相关术语

回旋曲线道路模型

自动驾驶中的道路模型

对于回旋道路曲线（如车道线），曲率和长度间有微分关系 $d\kappa=\dot{\kappa}\, ds$ ，其中 $\dot\kappa$ 为常数，因此有 $$\kappa = \int^s_0 \dot{\kappa}\, d\xi = \kappa_0+\dot\kappa s$$ 依据曲率定义，曲线的切线角（即轨迹线的航向角） $\phi$ 与长度有微分关系 $d\phi = \kappa \, ds$ ，因此有 $$\begin{aligned} \phi &= \int^s_0 \kappa\left(\xi\right) \, d\xi \\ &= \phi_0+\kappa_0s+\frac{1}{2}\dot{\kappa}s^2 \end{aligned}$$ 若令车头方向为 $x$ 轴方向，横向为 $y$ 轴方向，则其与 $s$ 分别有微分关系 $dx = \cos\left(\phi\right) ds,\, dy=\sin\left(\phi\right) ds$ ，因此 $x,y$ 间有微分关系 $dy = \tan\left(\phi\right)dx$ ，若 $\phi$ 满足小角度假设（工程上一般认为在 $\pm 15\degree$ 以内），则有

• $\tan\left(\phi\right) \approx \phi$
• $\frac{dx}{ds}=\cos\left(\phi\right) \approx 1$ ，因此 $ x \approx s$

因此有 $$\begin{aligned} y &= \int^x_0 \phi\left(\xi\right) d\xi \\ &= \int^x_0 \left(\phi_0+\kappa_0\xi+\frac{1}{2}\dot{\kappa}\xi^2\right)d\xi \\ &= y_0+\phi_0x+\frac{1}{2}\kappa_0x^2+\frac{1}{6}\dot{\kappa}x^3 \end{aligned}$$ 该模型计算简便，是 Fresnel 积分形式 $$x(s) = \int_0^s \cos\left(\phi(\xi)\right)\,d\xi, \quad y(s) = \int_0^s \sin\left(\phi(\xi)\right)\,d\xi$$ 在小角度下的近似。